Приложение 4

Приложение 4

 

Численное решение

 

П.4.1. Замкнутая система уравнений приведенной в данной Методике математической модели может быть решена только численным способом. Современный уровень развития вычислительной техники и вычислительной математики позволяет разработать достаточно точные численные методы, в которых реализуются различные конечно-разностные схемы исходной системы уравнений. Применяется наиболее апробированный численный метод решения систем дифференциальных уравнений в частных производных - метод "контрольных объемов" [5.26], используемый в современных программных пакетах расчета на ПЭВМ прикладных задач газодинамики и тепломассообмена PHOENICS [5.29] и FLUENT [5.30].

П.4.2. Дифференциальные уравнения в частных производных, приведенные к "стандартному" виду (П.10), решаются конечно-разностным методом "контрольных объемов" по неявной схеме [5.26]. Для трехмерной задачи дискретный аналог уравнений имеет вид (рис. П.2):

 

а_PF_P = а_EF_E + а_WF_W + а_NF_N + а_SF_S + а_TF_T + а_BF_B + b, (П.44)

 

где: а_E = D_EA(|P_E|) + [|-F_E,0|];

а_N = D_NA(|P_N|) + [|-F_N,0|];

а_T = D_TA(|P_T|) + [|-F_T,0|];

а_W = D_WA(|P_W|) + [|F_W,0|];

а_S = D_SA(|P_S|) + [|F_S,0|];

а_B = D_BA(|P_B|) + [|F_B,0|]

точки T и В расположены аналогично в плоскостях YOZ и XOZ;

;

а_P = а_E + а_W + а_N + а_S + a_Т + а_B + - S_PDxDyDz;

b = S_СDxDyDz + ;

- значение плотности на предыдущем шаге по времени, кг/м³;

- значение функции на предыдущем шаге по времени;

Dx, Dy, Dz - шаги вдоль осей OX, OY, OZ соответственно, м;

Dt - шаг по времени, с.

П.4.3. Используется функция А(|Р|) в следующем виде (схема со степенным законом изменения числа Пекле внутри контрольного объема):

 

; (П.45)

 

Операторы типа и означают, что при расчете используется большая из величин, разделенных запятой.

П.4.4. Число Пекле Р в выражении (П.45) определяется как отношение F и D, таким образом, P_е = F_e/D_e и т. д. Расходы F и проводимости D определяются следующим образом:

 

(П.46)

 

 

Рис. П.2. Шаблоны контрольных объемов:

а - для основных узлов конечно-разностной сетки;

б - для проекции скорости на ось ОХ;

в - для проекции скорости на ось ОY

 

П.4.5. В узлах представленного на рис. П.2, а шаблона конечно-разностной схемы определяются следующие физические величины: температура, плотность, давление, концентрации компонентов газовой среды, коэффициенты тепломассопереноса, теплофизические свойства среды, скорости генерации и диссипации кинетической энергии турбулентности. Для расчета составляющих скорости используется шахматная сетка, т.е. проекция скорости на ось ОY определяется на гранях контрольного объема s и n, перпендикулярных оси ОY (шаблон на рис. П.2, в), проекция скорости на ось ОХ определяется на гранях контрольного объема w и е, перпендикулярных оси ОХ (шаблон на рис. П.2, б), проекция скорости на ось OZ - на гранях контрольного объема b и Т, перпендикулярных оси OZ (контрольный объем определяется аналогично).

Таким образом, конечно-разностные уравнения для составляющих скорости (исходные уравнения (П.2¸П.4)) решаются на соответствующих различных контрольных объемах.

П.4.6. Учитывая, что при пожаре плотность газовой среды помещения существенно изменяется, необходимо использовать уравнение для определения поправки давления в "сжимаемой" форме:

 

, (П.47)

 

где: - поправки давления в соответствующих точках.

П.4.7. Поправочные формулы для проекций скорости имеют следующий вид:

 

; (П.48)

; (П.49)

; (П.50)

 

где:	величины с верхним индексом * означают текущие значения величины, а с индексом ' - поправочные значения;
dе, dn, dt -	величины, получаемые из соответствующих уравнений для компонентов скорости.

П.4.8. Расчёты проводятся на неравномерных конечно-разностных сетках (Dx = var, Dy = var, Dz = var) с переменным шагом по времени, определяемым из условия Куранта [5,26] для всех узлов конечно-разностной сетки:

 

, (П.51)

 

где: w_а - локальная скорость звука, м/с,

k_t < 1 - число Куранта.

П.4.9. Последовательность решения системы алгебраических -уравнений, приведенных к "стандартному" виду (П.44), является следующей:

1) задается приближенное поле давления р^* = f(х, у, z) (например, давление во всех контрольных объемах равно атмосферному);

2) решаются алгебраические уравнения (П.44), соответствующие уравнениям движения (П.2¸П.4), для получения полей значений скоростей , и ;

3) решается уравнение (П.47) для определения поправки давления p' = f₄(x, у, z);

4) рассчитывается скорректированное поле давлений p = p^* + р';

5) проводится расчет составляющих скорости по формулам (П.48¸П.50);

6) находится решение алгебраических уравнений (П.44), соответствующих уравнениям неразрывности смеси (П.1) и ее отдельных компонентов (П.6), уравнению энергии (П.5), уравнений теплопроводности (П.11¸П.14), а также уравнений (П.19) и (П.20) k-e модели турбулентности, для определения полей других физических величин (температуры газовой среды и строительных конструкций, концентрации компонентов смеси газов, коэффициентов тепломассопереноса, теплофизических свойств);

7) представление скорректированного давления p как нового р^* и возвращение к подпункту 2 настоящего пункта.

Процедура повторяется до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение, т.е. отличие параметров газовой среды на соседних итерациях не превышает заранее заданного значения (например, |T^{(k + 1)} - T^(k)| < 0,01 К,

где: k + 1, k - номера текущей и предыдущей итераций).

П.4.10. Используется неявная конечно-разностная схема [5.26]. При этом система линейных алгебраических уравнений (П.44) решена методом продольно-поперечной прогонки [5.26]. При этом сначала производится решение для одного из выбранных направлений (например, вдоль оси ОХ) с помощью стандартного метода исключения Гаусса. Каждое уравнение системы приводится к виду:

 

а_iF_i = b_iF_i+1 + с_iF_i-1 + d_i, (П.52)

 

где: i = 1, 2,..., N_x - номер точки конечно-разностной схемы вдоль оси ОХ.

Таким образом, физическая величина F_i связана с соседними значениями этой величины F_i-1 и Ф_i+1. Далее предполагается, что существует следующая зависимость:

 

Fi = a_iF_i+1 + b_i, (П.53)

 

где: a_i и b_i - прогоночные коэффициенты.

Подставляя (П.53) в (П.52), получаем зависимость прогоночных коэффициентов a_i и b_i от a_i-1 b_i-1:

; (П.54)

. (П.55)

 

Значения a₁ и b₁ определяются из граничных условий:

 

a₁ = b₁/a₁; b₁ = d₁/a₁. (П.56)

 

Например, в случае граничных условий второго рода при прогонке вдоль оси ОХ для уравнения энергии (П.5) можно записать:

 

, (П.57)

 

где: -	градиент температуры по нормали к поверхности ограждающих конструкций на ее границе;
Т1, T2 -	температуры в центрах граничного и соседнего контрольных объемов;
Dх -	шаг вдоль оси ОХ.

Тогда, в соответствии с уравнениями (П.53) и (П.57) значения a₁ и b₁ равны:

 

; a₁ = 1; . (П.58)

 

После этого, все прогоночные коэффициенты рассчитываются по формулам (П.54) и (П.55).

Далее из граничных условий на другой границе (i = N_x) определяется величина и по формуле (П.53) все остальные значения F_i. Например, при граничных условиях второго рода в случае прогонки вдоль оси ОХ (уравнение энергии (П.5)):

 

; , (П.59)

 

где: , -

температуры в центре граничного к поверхности и соседнего контрольных объемов.

Затем выполняется аналогичная прогонка вдоль двух других осей ОY и OZ с использованием в качестве значений F_i последних в итерационном смысле величин. Описанный алгоритм повторяется вдоль всех осей до тех пор, пока значения функции F_i на соседних итерациях во всех узлах конечно-разностной сетки будут отличаться друг от друга на заранее заданную величину.

П.4.11. Сложная геометрия конструкций и громоздких предметов в помещении задается блокированием в области твердых поверхностей контрольных объемов конечно-разностной сетки, используемой при численном решении на ЭВМ полевой модели, с помощью задания завышенной величины вязкости смеси газов: m = 10¹⁴ кг/(м·с).